9. БОЛЬШИЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМ ТЕЛ, ДИНАМИКА 
МЕХАНИЗМОВ


9.1 Общие положения


Под большими движениями понимаются, согласно общепринятой 
терминологии, такие движения тел, при которых углы их поворотов достаточно 
велики, и, поэтому, линеаризация матрицы поворота тела недопустима.
В данной системе моделирования движение тела описывается поступательным 
движением его центра масс в неподвижной (инерциальной) системе координат и 
вращением относительно связанных с телом координат, совпадающих с главными 
центральными осями инерции тела (т. н. уравнения в квазискоростях). Направления 
осей неподвижной и связанной (подвижной) систем координат, если не задана 
отличная от единичной начальная матрица поворота тела, в нулевой момент времени 
совпадают.
Как везде, во ФРУНДе используется правая система координат. Система углов 
Эйлера - последовательный поворот вокруг осей X,Y,Z.
Движение упругого тела описывается в нормальных координатах с учетом форм 
движения как твердого тела. Для вычисления матрицы поворота задается взаимное 
расположение трех любых узлов тела, не лежащих на одной прямой.
Для моделирования динамики больших движений тел используются 
дополнительные типы элементов расчетных схем - кинематические пары и пружины в 
шарнирах - упруго - демпфирующие элементы, направление действия сил в которых 
совпадает с линией, соединяющей узлы двух тел.


9.2 Задание кинематических пар


Принцип описания кинематических пар заключается в приравнивании 
соответствующих проекций скоростей точек двух тел на некоторую вспомогательную 
систему координат, связанную с одним из тел. Такая вспомогательная система может 
совпадать с подвижной системой координат тела , или быть повернутой относительно 
последней на определенные углы.
Тип кинематической пары задается в механической характеристике. Код типа 
функции упругого слагаемого составляющей механической характеристики в этом 
случае должен быть равен 15 - кинематическая связь. Число параметров может 
принимать значения 1,2,3 или 4, смысл которых расписывается ниже.
В случае задания в механической характеристике по некоторому направлению 
такого упругого слагаемого демпфирующее слагаемое игнорируется.
Принципы моделирования различных кинематических пар приведены в 
РАЗДЕЛЕ 7.
Положение кинематической пары в модели задается путем описания 
соответствующего соединительного элемента со ссылкой на необходимую 
механическую характеристику. Для каждого соединительного элемента можно 
задавать свою вспомогательную систему координат - п.п.9.3.1.2,9.3.2.3 , т.е. каждая 
кинематическая пара одного типа в модели может быть ориентирована произвольно. 
Считается, что такая вспомогательная система координат связана с первым телом, 
указываемом в соединительном элементе.
Число параметров в типе упругого слагаемого 15 имеет следующий смысл:
1 - координаты точек первого и второго тела , входящих в кинематическую 
пару, фиксированы, уравнения связей строятся в проекции на систему координат, 
связанную с первым телом, совпадающую с подвижными осями координат первого 
тела или повернутую относительно ее на постоянные.
2 - координаты точки первого тела фиксированы, а координаты точки второго 
тела вычисляются из условия ее совпадения с точкой первого тела в неподвижной 
системе координат (данный вид связи не применяется),
3 - Уравнения связей строятся в проекции на неподвижную инерциальную 
систему координат,
4 - координаты точек первого и второго тела , входящих в кинематическую 
пару, вычисляются из условия совпадения с некоторой точкой на третьем теле, 
относительно которого эти два тела могут перемещаться. Такой точкой может быть, 
например, геометрический центр зубчатого зацепления, для моделирования которого 
предназначен данный способ построения уравнений связи.


9.3 Дополнительная информация для расчета больших движений


Для полного описания моделей больших движений тел используются 
вспомогательные файлы с постоянными именами.
Синтаксис такого дополнительного ввода носит упрощенный характер. 
Различаются строки комментариев и строки описаний.
Строка комментариев начинается с символа " $ " в первой позиции.
Строка описания содержит числовую информацию в свободном формате. 
Смысл строки определяется первым числом в строке - типом строки.
Вспомогательная информация для шага МОДЕЛЬ задается в файле с именем 
modhelp, для шага РАСЧЕТ - rashelp (в оболочке файлы с расширениями mhl и rhl). В 
указанных файлах должна содержаться информация об элементах расчетной схемы, 
необходимых для расчета больших движений.
Если часть тел модели совершает малые движения, то соответствующие 
элементы не указываются в дополнительной информации . Если указанные 
вспомогательные файлы отсутствуют, то движения тел модели считаются малыми.


9.3.1 Дополнительная информация для шага МОДЕЛЬ


9.3.1.1 Описание тел, совершающих большие движения


Тип строки - 1. Далее идут по порядку 8 целых чисел:
? номер подсистемы;
? код типа движения тела, вводятся следующие коды
1 - малые движения с единичной матрицей поворота,
3 - большие движения с точной матрицей поворота,
? код типа вращательной степени свободы вокруг оси X, вводятся 
следующие коды
0 - степень свободы подавлена,
1 - малые повороты, с линеаризованной матрицей поворотов,
3 - большие повороты, с точной матрицей поворотов,.
? код типа поворота вокруг оси Y,
? код типа поворота вокруг оси Z,
? номер узла 1 (для упругого тела),
? номер узла 2 (для упругого тела),
? номер узла 3 (для упругого тела).
Для твердого тела вместо номеров узлов ставятся нули. Три узла, задаваемые для 
упругого тела, используются для пересчета начальных условий и расчета матрицы 
поворота. В качестве таких узлов выбираются любые узлы не лежащие на одной 
прямой и, желательно, максимально удаленные друг от друга.
	Строки этого типа автоматически формируются в файле default.mhl при задании 
в блоке 14 признаков больших поворотов и номеров узлов в позициях признаков 
поступательных степеней свободы.


9.3.1.2 Описание соединительных элементов


Тип строки - 2. Далее идут по порядку 5 чисел:
? номер соединительного элемента,
? тип соединительного элемента, вводятся следующие типы:
0 - обычный для ФРУНДа, или кинематическая пара,
1 - "пружина в шарнирах", считается, что механическая 
характеристика такого элемента имеет только одну 
составляющую по оси X,
? признак ориентации относительно оси X (0 или 1),
? признак ориентации относительно оси Y (0 или 1),
? признак ориентации относительно оси Z (0 или 1).
	Признаки ориентации относительно осей могут задаваться только для 
кинематической пары. Признак ориентации означает, что система координат 
кинематической пары повернута относительно подвижной системы координат тела.
	Строки с такой информацией для пружины в шарнирах автоматически 
заносятся в файл default.mhl при использовании макро tspring.mac. 


9.3.1.3 Описание точек контакта и ориентации осей колес транспортных 
средств


Тип строки - 3. Далее идут по порядку 4 числа:
? номер тела «колесо»,
? номер узла на колесе, касающегося дороги, в плоскости вращения,
? номер узла на оси колеса в плоскости вращения,
? номер узла на оси вращения колеса в направлении к центру машины.
	У заданной таким образом точки контакта колеса с дорогой координаты будут 
вычисляться из условия нахождения ее на вертикали, проходящей через центр колеса, 
и с учетом изменения радиуса шины.
	Строки с такой информацией для точек контакта автоматически заносятся в 
файл default.mhl при использовании макро kkoleso.mac.


9.3.2 Дополнительная информация для шага РАСЧЕТ


9.3.2.1 Задание координат вспомогательных узлов упругих тел


Тип строки -1. Далее идут по порядку 7 чисел:
? номер подсистемы,
? координата X второго узла относительно первого - п.п. 9.3.1.1,
? координата Y второго узла относительно первого,
? координата Z второго узла относительно первого,
? координата X третьего узла относительно первого,
? координата Y третьего узла относительно первого,
? координата Z третьего узла относительно первого.
	Данная информация является не обязательной (берется автоматически из 
геометрии).


9.3.2.2 Задание начального положения тел.


Тип строки -2. Далее идут по порядку 7 чисел:
? номер подсистемы,
? X координата ц. м. тела в неподвижной (абсолютной) системе 
координат,
? Y координата ц. м. тела в неподвижной системе координат,
? Z координата ц. м. тела в неподвижной системе координат,
? начальный угол поворота относительно оси X,
? начальный угол поворота относительно оси Y,
? начальный угол поворота относительно оси Z.
	Предназначено для приближенного задания первоначального положения тел 
при моделировании механизмов (больших движений).


9.3.2.3 Задание специальных характеристик соединительных элементов


Тип строки -3. Далее идут по порядку 7 чисел:
? номер соединительного элемента,
? угол поворота относительно оси X - всегда 0,
? угол поворота относительно оси Y - всегда 0,
? угол поворота относительно оси Z - всегда 0,
? свободная длина соединительного элемента,
? смещение по оси Y - всегда 0,
? смещение по оси Z - всегда 0.
	Данная информация может задаваться для кинематической пары или с. э. типа 
«пружина в шарнирах».
	Для кинематической пары имеют значение углы поворота относительно осей. 
Такие углы определяют ориентацию местной системы координат кинематической 
пары и задаются в случае, если были заданы признаки поворота в п. п. 9.3.1.2.
	Для пружины в шарнирах имеет значение свободная длина соединительного 
элемента - которая равна длине пружины в несжатом состоянии. Если для пружины 
такой параметр не будет задан, то ее свободная длина считается равной нулю.
	Строки с такой информацией для пружин в шарнирах автоматически заносятся 
в файл default.rhl при использовании макро lspring.mac.


9.4 Задание степеней свободы


При моделировании больших движений твердое тело может иметь любое 
сочетание степеней свободы по поступательным направлениям. По вращательным 
направлениям твердое тело может обладать или одной или тремя степенями свободы. 
Упругое тело, считается, всегда имеет шесть степеней свободы как твердое 
тело. Признак, что тело совершает большие вращения задается согласно п.п. 9.3.1.1.
Разрешенные вращательные степени свободы в BL14 должны совпадать с 
разрешенными степенями согласно п.п. 9.3.1.1.


9.5 Задание начальных условий


При моделировании с учетом больших движений является существенным 
взаимное начальное положение тел. В простейших случаях положение центра масс 
тела в неподвижной системе координат и начальные углы поворота согласно можно 
задать с помощью дополнительной информации - п.п. 9.3.2.2.
Наиболее универсальный способ определения начальных условий - применение 
процедуры сборки см. РАЗДЕЛ 3.
Для упругого тела начальные условия находятся так, как описано в п. п. 3.6.
При расчете больших движений, программа расчета может сама корректировать 
начальные условия в соответствии с заданной в управляющей информации скоростью 
движения. Такая корректировка заключается в добавке к переменным скоростей
тел по направлению X скорости движения со знаком минус, и производится по запросу 
программы. Необходимость в этом возникает, например, при моделировании 
движения автомобиля с различными скоростями. Автоматическое добавление к 
начальным условиям скорости, позволяет пользоваться одними начальными 
условиями, определенными в покое, для разных скоростей движения.


9.6 Задание нагрузок


В случае больших движений тел предполагается, что силы от нагрузок - 
специальные силы в терминологии ФРУНДа, могут быть также приложены в любой 
точке тела. При этом считается, что силы действуют всегда в направлении 
неподвижной системы координат, а моменты - в системе координат, связанной с 
телом. Такое задание внешних сил удобно для задания весовых и инерционных 
нагрузок.


9.7 Податливые связи


При моделировании динамики больших движений тел могут быть 
использованы, кроме кинематических пар, податливые связи двух типов. К таким 
связям относятся  "пружина в шарнирах" и обычные для ФРУНДа многомерные 
податливые связи. Кроме того есть способ задания упругости в самой кинематической 
паре по выбранным направлениям.


9.7.1 Пружина в шарнирах


Пружина в шарнирах представляет собой податливый элемент, соединяющий 
два узла разных тел, сила в котором зависит от относительного смещения и скорости 
этих узлов. Направление действия силы совпадает с линией, соединяющей узлы тел.
Описание такой связи осуществляется обычным соединительным элементом, в 
механической характеристике которого специфицируется только одна составляющая - 
по оси X. В качестве типов функций упругого и демпфирующего слагаемых могут 
использоваться все типы функций, существующие во ФРУНДе.
Предполагается, что в начальный момент времени, ось такого элемента, 
определяется начальным положением тел, которые он соединяет.
Деформация такого элемента определяется разницей текущего расстояния 
между узлами и свободной длиной элемента.
Считается, что положительная деформация такого элемента происходит при 
сжатии, отрицательная - при растяжении.
Пружина в шарнирах должна быть описана согласно п.п. 9.3.1.2, 9.3.2.3.


9.7.2 Многомерный податливый элемент


При больших движениях тел связи между телами можно задавать обычным 
образом - соединительным элементом, передающим силы и моменты по направлениям 
подвижной системы координат одного из тел.
В таком случае принимается, что взаимные смещения тел друг относительно 
друга малы, и соединительный элемент считается "вмороженным" в первое тело, 
указанное в описании соединительного элемента. Если первое тело совершает малые 
движения или неподвижно, то программа считает первым то тело, которое совершает 
большие движения или подвижное тело.
Для элементов такого типа не требуется описания дополнительной 
информации.


9.7.3 Податливая кинематическая пара.


Податливость кинематических пар моделируется заданием ненулевых величин 
жесткости и демпфирования в описании параметров механической характеристики 
данной кинематической пары. В этом случае по направлениям с ненулевыми 
жесткостями и демпфированием кинематические пары считаются упругими.


9.7.4 Задание шины


	Задание контакта с дорогой и связанного с ним кинематического возмущения 
задается как и для малых движений тел. Дорога описывается как подсистема с 
номером 49 - п.п. 2.3.1. Механическая характеристика должна описывать силы по трем 
поступательным направлениям - по X и Y линейной функцией с нулевыми 
параметрами, по Z нелинейной с учетом отрыва.
Точка контакта с дорогой на колеса должна быть описана с помощью макро 
kkoleso.mac п.п. 9.3.1.3.
Силы в плоскости дороги задаются с помощью макро tire.mac п.п. 12.1.
Продольная сила, действующая в плоскости контакта, складывается из сил тяги 
или торможения и горизонтальной проекции радиальной силы в шине. Угол наклона 
радиальной силы определяется углом продольного наклона микропрофиля под 
колесом.
9.8 Большие движения упругих тел


При расчете больших движений упругих тел, кроме форм колебаний, 
необходимо указать три узла, не лежащих на одной прямой, и, возможно дальше 
отстоящих друг от друга. Эти данные необходимы для вычисления матрицы поворота 
тела.
Задание этих параметров производится согласно п.п. 9.3.1.1. и 9.3.2.1.


9.9 Вывод результатов


9.9.1 Вывод кинематических параметров тел


В случае больших движений твердого тела перемещения, скорости и ускорения 
ц. м. тела выводятся по классу вывода 1. Выводятся как линейные величины, так и 
угловые. Угловые скорости и ускорения выводятся в проекции на связанную с телом 
систему координат.
Отметим, что в случае пространственного движения, углы поворотов являются 
интегралами от проекций угловых скоростей на связанную с телом систему координат, 
и четкого физического смысла не имеют.
Для больших движений упругих тел результаты выводятся по классу вывода 6. 
В настоящей версии модуля анализа выводятся только абсолютные скорости точек. 
Остальные параметры определяются некорректно.


9.9.2 Вывод реакций в кинематических парах


Реакции в кинематических парах выводятся как силы в соединительных 
элементах. Для кинематической пары определено только упругое слагаемое, которое и 
представляет реакцию в кинематической паре по соответствующему направлению.


9.9.3 Вывод смещений в кинематических парах


Для кинематических пар может выводиться относительное смещение и 
скорость по какому-либо направлению, которые представляют собой погрешность 
вычисления и служат для контроля точности вычислений. Указанные величины 
выводятся как относительные перемещения и скорости соединительного элемента.


9.10 Интегрирование уравнений, устойчивость решения


Для обеспечения точности и устойчивости решения моделей с 
кинематическими парами используются корректирующие множители. Смысл 
корректирующих множителей - введение консервативных и диссипативных сил, 
пропорциональных погрешности в кинематической паре.
При интегрировании уравнений с кинематическими парами используется 
дополнительная управляющая информация, задаваемая в файле epsilon.dat (файлы с 
расширением int при работе из оболочки). В указанном файле в начале каждой строки 
заносятся:
? коэффициент стабилизирующих консервативных сил,
? коэффициент стабилизирующих диссипативных сил,
? коэффициент стабилизирующих инерционных сил,
? минимальный, не исключающийся коэффициент уравнений связей,
? максимальная допустимая погрешность в шарнирах,
? код схемы стабилизации, 1 - улучшенная,  0 - обычная,
? неиспользуемый коэффициент,
? коэффициент частоты триангуляции матрицы связей,
? код интегрирования уравнений Эйлера,
? коэффициент условия прекращения сборки из-за несходимости ( >= 1),
? множитель границы погрешности в шарнирах условия триангуляции 
матрицы связей (0.0 - 1),
? шаг времени пересчета погрешности в шарнирах,
? шаг подсоединения уравнений связей при сборке (>=1),
? условие печати вычисления погрешности в шарнирах - 0 есть печать, 1 нет.
Первые два вещественных числа задают соответственно коэффициент 
жесткости и коэффициент вязкости стабилизирующих сил. Рекомендуемое значение 
коэффициента вязкости - 2 - 5 процента от коэффициента жесткости. Максимальное 
значение коэффициента жесткости ограничивается шагом интегрирования уравнений
движения. Для шага 0.01 - 0.0025 сек. Коэффициент жесткости 10000.-100000.
Третье число задает коэффициент пропорциональности по ускорениям. 
Рекомендуемое значение - 0.
Четвертое число задает величину минимального коэффициента матрицы связей, 
при котором он исключается при решении линейных уравнений.
Пятое вещественное число задает границу погрешности в кинематических 
парах, при превышении которой вычисление прекращается из - за потери точности. 
Физический смысл указанного параметра - линейное или угловое смещение в 
кинематической паре.
Шестое число - способ определения ускорений при интегрировании, связано с 
особенностями алгоритма интегрирования. Рекомендуемое значение - 1. Другое 
значение - 0.
Седьмое число - 0.
Восьмое число в файле epsilon.dat задает коэффициент частоты триангуляции 
матрицы уравнений связи. Так при значении этого коэффициента 1 разложение 
матрицы происходит при каждом вычислении правых частей уравнений. При значении 
4 - разложение происходит на каждом четвертом вычислении правых частей. Такой 
прием позволяет уменьшать время интегрирования при приемлемом снижении 
точности интегрирования.
Девятое число задает код способа интегрирования кинематических уравнений 
Эйлера - 1 - с помощью кватернионов, 2- напрямую, методом Рунге Кутта с поворотом 
в особых точках.
Десятое число задает целый коэффициент, определяющий условие прекращения 
выполнения сборки механизма из-за несходимости. Чем больше коэффициент, тем 
меньше величина скорости сходимости, при которой вычисления прекращаются. 
Рекомендуемое значение - 100 - 200.
Одиннадцатое число задает вещественный коэффициент (0.0 - 1.), произведение 
которого на допустимую погрешность в шарнирах дает границу начала триангуляции 
матрицы уравнений связей. Отличное от 0 значение этого коэффициента включает 
алгоритм автоматического слежения за точностью решения уравнений связей при 
непошаговой триангуляции матрицы. Рекомендуемое значение - 0.
Двенадцатое число задает шаг времени выдачи погрешности в шарнирах при 
наличии контрольной печати.
Тринадцатое число задает шаг по количеству уравнений связей, по которым 
одновременно производится сборка, рекомендуемое значение 1 - 3.
Четырнадцатое число задает код печати погрешности в шарнирах при точном 
пересчете: 0 -есть печать, 1 - нет.
Пример файла:
1.e+5    коэффициент стабилизирующих консервативных сил
5.e+2    коэффициент стабилизирующих диссипативных сил
0.e+6    коэффициент стабилизирующих инерционных сил
0.e-29  минимальный не исключающийся коэффициент уравнений связей
0.001   максимальная допустимая погрешность в шарнирах
1.        код схемы стабилизации, 1 - улучшенная, 0 - обычная
0.        неиспользуемый коэф.
4         коэффициент частоты триангуляции матрицы связей
2         код интегрирования уравнений Эйлера
200     коэффициент условия прекращения сборки из-за несходимости
0.0      множитель границы погрешности в шарнирах
0.1     шаг времени пересчета погрешности в шарнирах
2        шаг подсоединения уравнений связей при сборке
1        условие печати вычисления погрешности в шарнирах



9-1

